Liebe mit System

Das aktuelle Heft (Nr. 42) der philosophischen Zeitschrift der blaue reiter behandelt das Thema Liebe. Unter anderem findet sich dort ein Artikel von Jan Urbich über Liebe als Kommunikationssystem, der Niklas Luhmanns Arbeit Liebe als Passion aufgreift.

Im editorial heißt es, Liebe sei – Luhmann folgend – „nicht mehr als … ein Code“. Das nicht mehr als enthält natürlich eine Wertung. Diese findet sich auch explizit im Artikel:

„Damit ist wahrscheinlich die unromantischste Definition der Liebe der gesamten Philosophiegeschichte gegeben worden.“ [2], Seite 57

Aber ist das auch so? Aus der Perspektive eines Naturwissenschaftlers hantiert Luhmann mit anschlussfähigen Werkzeugen – das Vokabular von System, Code, Information und Entropie mag dies unterstreichen.

In der Tat wird gerade bei Luhmann die Wertigkeit von Romantik sichtbar. Eine Untersuchung, die sich zum Ziel setzt, den Wesenskern einer Sache freilegen, konzentriert sich freilich auf ihre Methoden und Werkzeuge – nicht anders als ein Chirurg bei einer Operation am offenen Herzen.

Einen Zugang zum Zusammenhang von Liebe und Kommunikation ermöglicht dieses Zitat von Rubert Musil, auf das Luhmann im 2. Kapitel im Kontext von „Augensprache“ verweist:

„Liebe ist  das gesprächigste aller Gefühle und besteht zum großen Teil ganz aus Gesprächigkeit“ [1], Seite 29

Luhmanns Arbeit mündet im 16. Kapitel in der Darstellung der Liebe als System der Interpenetration. Dabei gehe es nicht um eine unio mystica, sondern um die operative Ebene der Reproduktion der Elemente (Selbstreproduktion und Fremdreproduktion gleichzeitig).

Was ist nun davon zu halten?

Eine umfassende Theorie der Kommunikation der Liebenden aufzustellen – damit steht der Soziologie nicht allein. Kommunikations- und Informationstheorie haben in den letzten 20 Jahren zahlreiche Domänen erobert, u.a. Genetik und Quantentheorie. Starten wir also einmal ganz neu und stellen eine Informationstheorie der Liebe aus und finden heraus, ob wir in Luhmanns Strukturen landen.

Eine kleine Systemtheorie der Liebe

Das Attribut klein bedeutet hier, dass wir uns zunächst auf eine Informationstheorie der Liebe konzentrieren.

Leider ist die (quantitative) Informationstheorie ein abstraktes und trockenes  topic. Ein nützliches Kommunikationsmedium ist hier die Liebesgeschichte.

Sommer 2018 in Berlin. Ein brütend heißer Tag – gerade auch in den Fahrzeugen der SBahn Berlin GmbH. Wir werden Zeugen, wie sich Klaus und Marion (unser Liebespaar) zum ersten Mal begegnen. Marion hat in der S2 einen Sitzplatz mit Blick auf den Eingangsbereich. Sie senkt den Blick allerdings auf ihr Galaxy A6+ und hört gerade Yellow Submarine von den Beatles. Das Cover wird auf dem Display gut sichtbar angezeigt. Vor der Türe steht Klaus, Marion zugewandt, allerdings in Gedanken. Er trägt ein Jim Morroson T-Shirt mit der Aufschrift „An American Poet“.

Dann passiert der Moment, den Schopenhauer so gerne als Zeugungsmoment eines Kindes betrachtet. Es kommt zum Blickwechseln. Augenkontakt. Lächeln. Waren es Sekunden oder Sekundenbruchteile?

Marion steigt an der Buckower Chaussee aus. Als sie ihr Ziel, die Thai-Nippon Sushi-Bar erreicht, reflektiert sie die Begegnung mit dem ihr bisher unbekannten Klaus. Vor allem memoriert sie sein T-Shirt.

Klaus reflektiert bereits in der S-Bahn, denn er steigt erst acht Minuten später am Priesterweg aus. Er erinnert sich an das Album , das auf Marions Display angezeigt wurde.

Beide beginnen mit Projektionen. Es ist zwar nur ein Staubkorn im Universum, doch uns interessiert nun die wechselseitige Penetration im Universum der Musik. Um die Mathematik der Informationstheorie anwenden zu können, müssen wir allerdings das Szenario grob vereinfachen. Nehmen wir also mal an, es gäbe nur drei Musikgruppen auf der Welt, etwa

Musikgruppen := {Rolling Stones, The Doors, Beatles}

Dieses Universum ist also als Menge mit drei Elementen notiert. Nun benötigen wir noch eine Interpretation im Sinne der Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Zeitalter von big data ist das recht einfach erklärt. Nehmen wir an, jemand hätte kompletten Zugriff aus alle unsere Daten auf amazon music, Spotify etc.

Dieser Jemand kann also eine Statistik generieren, was wir wann mit welcher Häufigkeit gerne hören (nach Feierabend etwa andere Vorlieben als morgens). Aber abgesehen von der Beobachtbarkeit, können wir uns eine Wahrscheinlichkeitsverteilung vorstellen.

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die dem tatsächlichen Verhalten entspricht, definieren wir als objektive Wahrscheinlichkeit p. Wie sieht es bei Marion und Klaus aus?

Wahrscheinlichkeitsvektor Marion
p(Rolling Stones|Marion)= 0,4
p(The Doors|Marion)= 0,2
p(Beatles|Marion)= 0,4

Wahrscheinlichkeitsvektor Klaus
p(Rolling Stones|Klaus)= 0,6
P(The Doors|Klaus)= 0,3
p(Beatles|Klaus)= 0,1

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten im Modell ergibt stets den Wert 1,0. Bei Klaus sieht man dass er – anders als sein T-shirt suggeriert – die Stones favorisiert. Beim Reflektieren erstellt Klaus Projektionen von Marion und Marion erstellt ebenso Projektionen von Klaus. Es werden Hypothesen gebildet. Wer ist er? Was mag sie? Wo wohnt er? etc.

Eine Hypothese besteht aus einem Set subjektiver Wahrscheinlichkeiten.

Hypothese Marion über Klaus:
q(Rolling Stones|Klaus) 0,2
q(The Doors|Klaus)= 0,6
q(Beatles|Klaus)= 0,2

Aufgrund der erratischen Beobachtung des T-Shirts vermutet Marion eine Affinität zu den Doors.

Hypothese Klaus über Marion:
q(Rolling Stones|Marion)= 0,25
q(The Doors|Marion)= 0,25
q(Beatles|Marion)= 0,5

Umgekehrt ist Klaus durch das Yellow-Submarine-Cover beeinflusst. Spannend ist nun, dass sich dieses Gefüge mathematisch sehr gut beschreiben lässt. In der Informationstheorie arbeitet man mit der Kullback-Leibler-Divergenz (bzw. Kerridge-Bongard-Entropie):

Kullback

Für die mathematisch Interessierten hier eine kleine Aufstellung der Parameter, die wir aus den Wahrscheinlichkeitsverteilungen p und q ableiten können (der Logarithmus wird zur Basis 2 berechnet, damit ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 50 % genau 1 Bit Information liefert).

Tabelle

Zur Erläuterung betrachten wir zunächst die Entropie im Musik-Universum. Die Thermodynamik beschreibt, wie sich ein Stück Würfelzucker im Kaffee auflöst. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Zuckermoleküls in der Tasse ist zu Beginn auf den Zuckerwürfel beschränkt, am Ende sind in jedem Winkel der Tasse gleich viel Zuckermoleküle vorhanden. Dann ist die Entropie maximal.

Im Musikuniversum ist die Entropie maximal, wenn alle drei Gruppen gleich häufig gehört werden (Marion ist nahe dran an maximaler Entropie). Die geringste Entropie (und damit spiegelbildlich kommunizierend der maximale Informationswert) ergibt sich, wenn nur eine Gruppe mit Wahrscheinlichkeit 100 % favorisiert wird. Dann ist die Entropie Null, denn der Logarithmus von Eins ist Null.

Die cross entropy sagt nun etwas darüber aus, wie gut die Hypothese ist. Die Hypothese von Klaus führt auf einen Wert von 1,6 während Marions Musikentropie einen Wert von 1,52 aufweist. Die Differenz ist also nur 1,6 minus 1,52 – also 0,08. Bei Marions Hypothese ergibt sich eine Abweichung von 0,45.

Nun beginnt die wechselseitige Penetration. Am Abend ist es in Berlin noch immer heiß. Marion kann nicht schlafen. Sie ruft über ihren amazon Fire TV Stick Musikvideos auf. Sie bleibt bei Love Street (The Doors) hängen. Sie betrachtet das Video einige Male. Sie mag diese Musik und denkt daran, wie vergeistigt Klaus in der S-Bahn stand.

Nun verschiebt sich ihre objektive Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn auch nur schleichend:

Neuer Wahrscheinlichkeitsvektor Marion
p_neu(Rolling Stones|Marion)= 0,38
p_neu(The Doors|Marion)= 0,24
p_neu(Beatles|Marion)= 0,38

Ähnliche Mechanismen setzen bei Klaus ein. Die wechselseitige Penetration besteht hier im dynamischen Wechselbezug der Wahrnehmung des anderen (actio und reactio von Alter und Ego (siehe [1] Seite 27) und insbesondere jeweils antizipierte actio und reactio).

Wochen später. Nach erneuten Begegnungen in der S2 kam es endlich zum Kontakt. Weitere Wochen später. Klaus hat zum Abendessen eingeladen. Es stellen sich Fragen über Fragen. Welche Getränke gehören in den Kühlschrank? Welches Buch lege ich sichtbar auf den Wohnzimmertisch? Wie dann weiter? Verhütung? Sind meine Verhaltensmuster im Einklang mit me too? Was kommuniziere ich wann? Dahinter stecken nun tausende gekoppelte cross entropy Relationen. Physikalisch lässt sich diese Interpretation weiter ausbauen. Das Liebespaar bildet ein gemeinsames Inertialsystem aus, deren Dynamik sich in Matrizen mit Eigenwerten abbilden lässt. Novalis‘ Liebe um der Liebe willen wird in der Realität dieser Physik der Autopoiesis sichtbar.

Wir wissen natürlich nicht, ob Klaus und Marion glücklich werden. Wir dürfen das als eher unwahrscheinlich betrachten.

Doch eines ist sicher: Die Liebe als interpenetrierender Tanz um die cross entropy mag beide vor dem Wärmetod bewahren.

Literatur

[1] Niklas Luhmann, Liebe als Passion, stw 1124, 14. Auflage 2017

[2] der blaue reiter, Journal für Philosophie, Nr. 42 (2/2018)

 

 

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Zauberhafter Zeitvertreib

Eine Rezension zu: „Zeit der Zauberer“ von Wolfram Eilenberger

Wer sich ernsthaft mit Philosophie beschäftigt, verfolgt in der Regel ein Ziel. Dieses Ziel weist nicht unbedingt von Anfang an klare Konturen auf, sondern zeigt sich mitunter zunächst als dumpfes Gefühl. Dies kann etwa eine pazifistische Grundhaltung sein, eine unglückliche Liebe oder eine Naturerfahrung. Entscheidend sind die Schlussfolgerungen, die wir aus diesen Erfahrungen ziehen. Das bisher Vertraute – unsere innere Repräsentation von Welt, Liebe, Politik und Leben – wird fortan als uneigentlich empfunden. Auch die Wahrnehmung und die Sprache als Speicher und Vermittler der Wahrnehmung erscheinen nun uneigentlich.

So wird das Eigentliche zum Ziel. Das Eigentliche ist der Teil des Wesentlichen, den wir uns zu eigen machen. Es kann keine kurze Reise dorthin sein. Die Reise erfordert Fokussierung und lässt wenig Raum für Zeitvertreib. Manche dieser Reisenden verzichten konsequent auf den Konsum von Sekundärliteratur. Sie treffen auch bewusste Entscheidungen bei der Rezeption der Originalwerke – so lässt Arthur Schopenhauer nur die Erstausgabe von Kants Kritik der reinen Vernunft (1781) gelten. Warum aber keine Sekundärliteratur? Die Originalwerke sind Koordinaten und Kompass zugleich, sie erlauben die unmittelbare Begegnung mit einem potentiell Seelenverwandten auf der Suche nach dem Eigentlichen.

Nun hat Wolfram Eilenberger mit „Zeit der Zauberer“ ein Stück Tertiärliteratur vorgelegt. Es ist eine Darstellung des „großen Jahrzehnts der Philosophie (1919-1929)“ mit den Akteuren Wittgenstein, Heidegger, Benjamin und Cassirer. Natürlich lässt sich so ein Werk nicht ohne Zugriff auf die Sekundärliteratur kompilieren. Nach Meinung von Beobachtern lässt sich das Aroma von Safranskis Heidegger-Biographie zwischen den Zeilen deutlich schmecken. Nun formen die 402 Seiten Text ohne Frage ein erfolgreiches Buch. Doch dies wäre kaum der Fall gewesen, hätte der Autor vier kleinere Werke à 100 Seiten über die vier Protagonisten einzeln verfasst. Der Zauber des Werkes besteht in der realen und virtuellen Vernetzung seiner Figuren – angereichert mit zahllosen biographischen Anekdoten, die auch das Liebesleben umfassen.

Was ist nun von „Zeit der Zauberer“ zu halten? Kann ich eine Empfehlung aussprechen? Das ist nicht so einfach zu beantworten. Hängt es doch ab von dem Eigentlichen, das der potentielle Leser sucht sowie von seiner Erwartungshaltung.

Mein Doktorvater hat mir einst eine einfache Methode erklärt, einen wissenschaftlichen Aufsatz oder ein Buch in wenigen Sekunden zu erfassen. Man beginne die Lektüre schlicht und ergreifend mit der Durchsicht des Literaturverzeichnisses. Auf welchem Grund steht der Autor? Heute reicht schon ein Blick auf Wikipedia. Wolfram Eilenberger ist gelernter Kulturphilosoph. Wo Kulturphilosophie draufsteht, ist auch Kulturphilosophie drin. Deshalb ist auch die Enttäuschung, die bei einigen Rezensenten zum Ausdruck kommt und sich auf die mangelnde philosophische Tiefe des Werkes bezieht, unbegründet. Gerade in Bezug auf Wittgenstein und Heidegger ist und war von „Zeit der Zauberer“ kein Erkenntnisfortschritt zu erwarten.

Doch umso mehr gelang Eilenberger die Darstellung von Leben und Werk bei Benjamin und Cassirer. Bei der Darstellung Benjamins beeindrucken das Einfühlungsvermögen und die kulturelle Einordnung. Bei Cassirer begeistern die Geschichten rund um Aby Warburgs kulturwissenschaftliche Bibliothek. Allein diese beiden Aspekte reichen bereits für eine Empfehlung. In unserer Zeit bewegen die Schilderungen der subtilen Diskriminierung des jüdischen Ehepaars Cassirer in den 20er Jahren besonders. Immanuel Kants geistiger Enkel wurde 1933 aus Deutschland vertrieben und kehrte nie wieder zurück. Mit dem Ausblick auf den weiteren Werdegang der vier Männer auf der Suche nach dem Eigentlichen verlassen wir die „Zeit der Zauberer“ und sind Wolfram Eilenberger für neue Einsichten dankbar.

Betrachten wir das Werk als Kunstwerk und setzen Benjamins Kunsttheorie um, dann bedeutet die Rezeption eines Werkes stets, dieses auch nachzubilden. Lasst uns also in Gedanken selbst ein Buch über das große Jahrzehnt der Philosophie schreiben. Wo fehlt etwas? Wo würde unsere eigene Handschrift ansetzen?

Ich würde einige biographische Episoden zugunsten einer Tiefenanalyse kürzen. Wie kann man Heidegger verstehen, ohne einen Blick auf Nietzsche und Hölderlin zu werfen? Was ist Cassirer ohne Kant? Konkret wäre Nietzsche in der Zeit zwischen 1880 und 1882 zu erfassen – der Autor der Fröhlichen Wissenschaft. Noch weit von geistiger Umnachtung entfernt und gleichzeitig von Schopenhauer emanzipiert, entwickelt hier Nietzsche ein philosophisches Hauptwerk (das vielfach irrtümlich als aphoristische Sammelsurium missverstanden wird). Hier findet sich auch ein Schlüssel zum Verständnis Wittgensteins. Bei Cassirer reicht die philosophische Nabelschnur ins 18. Jahrhundert zurück und gibt ihm – stabil wie ein Stahlseil – Rückhalt für eine souveräne und widerspruchsfreie Philosophie. Dass er auch als einziger der vier Probanden eine glückliche Ehe führte, zeigt, dass der ehemalige Rektor der Universität Hamburg offenbar das Eigentliche gefunden hatte.

 

 

 

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Kafka allein in der Matrix: Über die Relevanz von Mr. Robot

Mysteriöse Männer entführen dich. Du befindest dich in einer Tiefgarage. In einer Schubkarre wird Zement angerührt. Einer der Männer greift eine Art Trichter und steckt ihn dir in den Mund. Jemand beginnt, den Zement in den Trichter zu schaufeln.

Nicht sehr schön? Diese Szene aus der zweiten Staffel der Fernsehserie Mr. Robot des kongenialen Sam Esmail lässt Serienjunkies wie mich an den eigenen Medienkonsum denken. Neben Netflix und Amazon Prime bereitet nun auch Apple einen Streamingdienst für Serien vor. Und während ARD und ZDF weiter auf etwas fokussieren, das sie Fernsehspiel nennen, findet der Serienfreund auf Metacritic viele faszinierende Serien, die von Europa aus unerreichbar scheinen. Wie also selektieren, was man gesehen haben muss?

In dieser Situation empfehle ich eine Serie, die schwer wie gehärteter Zement im Magen liegt.

Barbus etwa schreibt in seiner Kundenrezension: „Die Folgen zu sehen ist für mich eine Qual.“ Die zweite Staffel hat auf amazon zur Zeit nur 3,7 von 5 Sternen.

Und doch: Lehrt uns nicht der Theosoph Jakob Böhme durch seinen beflissenen Schüler Hegel, dass sich Qualität von Qual ableitet?

Ein kluger Rezensent schrieb, dass Sam Esmail offenbar kein zielgruppenkonformes Produkt erschaffen wollte. Die Realerfahrung des sogenannten Arabischen Frühlings und Meisterwerke wie Matrix, Fight Club, Taxi Driver und Breaking Bad standen Pate. Gesteigert wird dieser Reigen noch durch die Assoziationen der Kritiker der  Serie, die sich auf metacritic mit der 2. Staffel von 79 auf 81 Punkte gesteigert hat.

„[Showrunner and creator Sam Esmail is] a Kafka in the director’s chair.“

Verne Gay, 12.07.2016

Dem zentralen Punkt näherte sich Tom Long in seiner Rezension vom 8.7.2016:

„Mr. Robot remains one of the most dizzying, intoxicating, challenging shows on television, a gripping look at mental illness and brilliance run amok, tied to an essentially sweet, if damaged, character.“

Das ist es: Mr. Robot ist ein hoch sensibler, verletzlicher, gleichermassen empathischer wie autistischer Charakter. Einen derartigen Charakter sauber zu zeichnen, ist nicht einfach. Rainer Werner Fassbinder – inspiriert durch Douglas Sirk – konnte das. Wir hatten es mit gebrochenen Charakteren zu tun, die an einer antiqiuierten Außenwelt litten. Rechts/links und Freund/Feind waren in der alten Bundesrepublik greifbare Parameter. In einer postfaktischen globalisierten Welt, in der Verschwörungstheorie zum Konsumgut wird, ist es nicht mehr so einfach, Protagonisten auf ein moralisches Google Map zu pinnen.

Hier nimmt Sam Esmail keine Rücksicht auf uns. Kann der sensible Held abgrundtief böse sein? Who knows? Mir fällt in den bisher 22 Folgen die Abwesenheit von Glück auf. Selbst das Streben nach Glück wird diskreditiert. In einer Sequenz nimmt der Hacker Elliot Alderson – wunderbar verkörpert durch Rami Malek  – an einem Familienausflug teil. Die Szene wird als Soap Opera inszeniert, die anstatt angenehmer Erinnerungen vorrangig Gelächter hervoruft. Ja, die Zeitläufte rufen einen Malstrom ins Leben, der jeden naiven Idealismus zermalmt. Dieser Elliot Alderson ist Lichtjahre entfernt von einer Figur, für die David Guetta eine Hymne schreiben könnte. Plutonium statt Titanium.

Kontrafaktischer Zement im Bauch härtet. Und doch wartest Du auf Staffel 3. Kannst Du mich hören? Wird es 2017 titanisch, wollen wir unsere abgewetzte cogito-Spielkarte im Trump’schen Casino gegen einen sum ergo sum Freifahrtschein austauschen?

Hach. Vielleicht sollten wir wenige Tage vor Trump einfach nur den Rechner neu booten.

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Finsler und das Fundierungsaxiom

Die Mathematik gilt als eine der klarsten Wissenschaften. Bei einer so grundlegenden Wissenschaft ist zu vermuten, dass ihre Strukturen eng verbunden sind mit den elementaren Strukturen unseres Denkens. Nicht umsonst hat die Mathematik in Kants Kritik der reinen Vernunft eine Schlüsselrolle.

Für den Philosophen ist es von Interesse, den Aufbau dieser Struktur zu studieren.

Ein zentrales Fundament der Mathematik ist die Mengenlehre. Die Mehrheit der Mathematiker betrachtet die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre als den zentralen Baustein der Mathematik. Diese Mengenlehre beruht auf neun Grundannahmen (Axiomen) – gleichsam die zehn Gebote der Mathematik.

Diese neun Grundannahmen sind nicht alle gleich einsichtig. Besondere Probleme bereitet das sogenannte Fundierungsaxiom, von dem selbst Fachleute sagen, es sei ein „vergleichsweise mysteriös anmutendes Axiom“ [1].
Mit diesem Axiom wollen wir uns heute intensiver beschäftigen.

Doch zuvor rufen wir in Erinnerung, dass wir mit Paul Finslers Mengenlehre (siehe Finslers Mengenlehre – Isomorphie und Logik. Kapitel 1.) bereits eine hoch interessante Alternative kennengelernt haben.
Finsler kommt mit nur drei Axiomen aus. Die ihm bekannten Axiome hat er aus seinen Grundaxiomen abgeleitet. Mit Ausnahme des Fundierungsaxioms, das erst später publiziert wurde (siehe Zeittafel).

Zeittafel 1903 1908 1926 1930
Russells Antinomie Mengenlehre Zermelo Mengenlehre Finsler Fundierungsaxiom

Was hat es nun mit dem Fundierungsaxiom auf sich? In der Sprache der Mathematik lautet es:

∀ x (x ≠ ∅ → ∃ (y ∈ x) x ∩ y = ∅)

Keine Sorge! Wir wollen das Schritt für Schritt übersetzen.

Der erste Teil sagt, dass die Aussage für alle Mengen x gelten soll, die nicht leer sind. Dann soll eine Teilmenge y von x existieren, deren Schnittmenge mit x leer ist.
Mengen, die das Axiom nicht erfüllen, sind sozusagen verboten.
Und wo liegt nun das Problem?
Betrachten wir die Menge M = {1, 2, 3}.
Nehmen wir als Teilmenge mal die 1 heraus. Und nun betrachten wir die Schnittmenge von 1 mit {1, 2, 3}. Ist das nicht 1?

Aber wenn das so wäre, dann dürfte unsere simple Menge M gar nicht existieren! Wie kann das denn sein? Dies ist der Punkt, an dem nicht wenige die Mathematik verfluchen.

Rufen wir dazu Finslers erstes Axiom in Erinnerung:

I. Axiom der Beziehung
Für beliebige Mengen N und M ist stets eindeutig entschieden, ob M die Beziehung β zu N besitzt oder nicht.

Im Klartext: Die Grundlage der Mengenlehre ist eine umfassende Liste, welche Menge welche Elemente hat, bzw. welche Elemente in welcher Menge enthalten sind.
Da wir in unserem Beispiel M = {1, 2, 3} keine weiteren Angaben gemacht haben, hat 1 keine Elemente (und damit keine Eigenschaften).
Die Schnittmenge bilden bedeutet aber anschaulich: Vergleiche die Eigenschaften!
Und da 1 keine Elemente hat, ist die Schnittmenge mit M leer und das Fundierungsaxiom ist erfüllt.

Worum ging es Zermelo überhaupt bei seinem Axiom?
Er betrachtete zunächst ein „Urelement“ namens u:
g0=u

(In unserem Beispiel wäre die 1 so ein Urelement).
Der elementarste nächste Schritt ist nun, sich eine Menge zu denken, die eben dieses Urelement u enthält:

g1={u}

Nun sind g0 und g1 für den Mathematiker zwei verschiedene Dinge.

Also können wir uns eine Menge vorstellen, die nur diese beiden Dinge enthält:

g2={u, {u}}

Der aufmerksame Leser ahnt schon, dass wir hier ein Spiel begonnen haben, das wir beliebig fortsetzen können:
g3={u, {u}, {u, {u}}}

Und ganz nebenbei stellen wir fest, dass wir unsere Folge auch wie folgt benennen können:
1 := g1
2 := g2
3 := g3

Rückblickend erscheint unsere Beispielmenge M = {1, 2, 3} etwas strukturlos. Eigentlich enthält sie drei Urelemente. Die Symbole sind – solange keine weiteren Beziehungen benannt sind, beliebig. Wir hätten auch M = {t, d, w} oder M = {#, @, §} schreiben können.

Betrachten wir nun Zermelos Formulierung des Fundierungsaxioms:

Jede (rückschreitende) Kette von Elementen, in welcher jedes Glied Element der vorangehenden ist, bricht mit endlichem Index ab bei einem Urelement.
(Zermelo 1930)

Für unsere Kette g0 ff ist das Axiom auf den ersten Blick erfüllt und bereitet keinerlei Probleme.

Der eigentliche Mehrwert des Fundierungsaxioms besteht nun darin, dass bestimmte Antinomien vermieden werden – insbesondere die Russellsche Antinomie (siehe Finslers Mengenlehre, Kapitel 1).
Russell betrachtete Mengen, die sich selbst enthalten:
y ∈ y
Bilden wir nun die Menge x := {y}
Dann ist x nicht leer und y ist eine Teilmenge von x. Und wie sieht die Schnittmenge von x und y nun aus? Beide Mengen haben y als Element, daher ist die Schnittmenge y und damit nicht leer. Ein klarer Verstoß gegen das Fundierungsaxiom!

Finsler vermeidet die Russellsche Antinomie auf andere Weise. Er betrachtet ein System Σ von Mengen, die die Eigenschaft haben, dass sie sich nicht selbst enthalten. Allerdings kann es dann noch immer zu merkwürdigen Konstrukten kommen.

Betrachten wir folgendes Rätsel:

Alfred sagt, dass Bernd weiß, was Sache ist.
Bernd sagt, dass Christoph weiß, was Sache ist.
Christoph sagt, dass Alfred weiß, was Sache ist.
Was ist nun Sache?

In Mengenschreibweise:
A={B}
B={C}
C={A}.

Visualisert (Ein Pfeil bedeutet Menge x enthält y):
Zirkel

Dies ist eine zirkelhafte Kette ohne Urelement, die gegen das Fundierungsaxiom verstösst.

Bei Finsler können solche „zirkelhaften“ Mengen durchaus noch auftreten. Finslers Leistung ist es, eine Konstruktion aufzuweisen, die ein zirelfreies Mengenuniversum ermöglicht.

Anschaulich gesprochen: Das Fundierungsaxiom ist ein wirksames Messer, das womöglich zu viele Mengen aus dem Mengenuniversum eliminiert.
In seiner Dissertation MATHEMATISCHER PLATONISMUS. Beiträge zu Platon und zur Philosophie der Mathematik. stellt Gregor Schneider fest: „Die Finsler-Mengenlehre ist allem Anschein nach umfassender als ein ZFC-Universum.“

Literatur
[1] Dirk W. Hoffmann, Grenzen der Mathematik, 2. Auflage, 2013. (Ein übrigens didaktisch hervorragendes Lehrbuch)

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Introspektion. Ein (sehr) kurzer Essay.

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Finsler, Gödel und Penrose: Die Grenze der formalen Mathematik

„a remarkable, if far from adequate, anticipation“
Alonzo Church

Wie bereits früher erwähnt, antizipierte der Mathematiker Paul Finsler – fünf Jahre vor Kurt Gödel – in seiner Arbeit Formale Beweise und die Entscheidbarkeit dessen Unvollständigkeitssatz. Der Aufsatz ist übrigens – zeitgleich mit der Mengenlehre – am 28. November 1925 bei der Mathematischen Zeitschrift eingegangen.

Finsler geht von Hilberts Position aus, dass mathematische Beweise streng formalisiert gedacht werden, als konkret aufgeschriebene, aus bestimmten Zeichen zusammengesetzte Figuren.
Finsler betrachtet die formale Mathematik als ein System S mit einem Wörterbuch B.

Er definiert:

„Irgendein Ding soll endlich definierbar heißen, wenn es eine endliche Zusammenstellung von Zeichen des Systems S gibt, von der Art, daß der vermittels B festzustellende Sinn dieses Ding eindeutig festlegt.“

Für die weitere Betrachtung müssen wir noch den Begriff der Antidiagonalfolge einführen.
Gegeben sei eine Liste von Dualfolgen:
Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Folge n: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 ….

Wir notieren jeweils die nte Stelle von Folge n und erhalten die Abfolge:
0 0 0 1 …
Durch vertauschen von 0 und 1 erhalten vier die ersten vier Ziffern der Antidiagonalfolge:
1 1 1 0 …

Man beachte, dass die Antidiagonalfolge offenbar endlich definierbar ist.

Finsler definiert nun weiter:

Ein formaler Beweis ist eine endliche Kombination von Zeichen des Systems S von der Art, daß der vermöge B festzustellende Sinn einen logisch einwandfreien Beweis ergibt.

Nun gibt es unter den Dualfolgen sicher einige, in denen die Ziffer 0 unendlich oft vorkommt und einige, bei denen das nicht zutrifft. Für jede der Folgen sei ein formaler Beweis gegeben. Wir können also jeder Folge einen Beweis zuordnen.

Nehmen wir an, unser mathematisches Wörterbuch B enthalte alphabetisch geordnete Zeichen:
B= { a, b, c, d, z, …}, dann kommen wir zu einer Liste von Dualfolgen und Beweisen, die in etwa wie folgt aussehen könnte:

Zeile 1: Beweis 1: a f s t Folge 1: 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 ….
Zeile 2: Beweis 2: s w a g Folge 2: 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 ….
Zeile 3: Beweis 3: a v c s Folge 3: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ….
Zeile 4: Beweis 4: b v q w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Selbstverständlich kann es für eine Dualfolge auch mehrere Beweise geben.

Nun können wir uns alle derartigen Beweise aus dem System S mit dem endlichen Zeichenvorrat B als abzählbare Reihe sortiert vorstellen. (Zum Beispiel zunächst nach Länge des Beweises und bei gleicher Länge alphabetisch sortiert.)
Wie gesagt treten einzelne Folgen sicherlich mehrfach auf, wenn es mehrere Beweise gibt, z.B.:
Zeile 9: Beweis 5: b v u w Folge 4: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ….

Die komplette Liste der Beweise stellt sozusagen das formelle Wissen aus System S dar.

Der Clou besteht nun darin, dass Finsler zu dieser Liste die Antidiagonalfolge bildet und dann den folgenden Satz aufstellt:

„In der soeben definierten Antidiagonalfolge kommt die Zahl 0 nicht unendlich oft vor.“

Nun suchen wir in der Liste unserer Beweise im System S vergeblich nach der Antidiagonalfolge – sie ist ja gerade so konstruiert, dass sie mit keiner der bestehenden Folgen übereinstimmt. Der Satz ist also formal nicht entscheidbar.

Und dennoch führen uns logische Überlegungen dazu, dass der Satz falsch ist. Man stelle sich etwa alle Folgen vor, die ab einer Stelle j nur noch die Ziffer 1 wiederholen. Dies führt in der Antidiagonalfolge zur Ziffer 0.
Finsler betrachtet das Beispiel einer Folge, die nur aus 1en besteht und bei der sich mit „beliebig vielen Worten“ der Beweis führen lasse. Eine endlos lange Geschichte über einen einfachen Sachverhalt sozusagen – in unendlich vielen Variationen. Dann kommt die Folge 1 1 1 1 1 1 1 … natürlich unendlich oft in unserer Auflistung vor und die Antidiagonalfolge muss unendlich oft die Ziffer 0 enthalten.

Es gibt aber keinen formalen Beweis dafür und keinen formalen Beweis dagegen, d.h. der Satz ist formal widerspruchsfrei.

Finsler kommt zu dem Ergebnis:

„Es gibt also tatsächlich einen formal darstellbaren Satz, der formal widerspruchsfrei, aber logisch falsch ist.“

Der Platoniker Finsler hat in unserer heutigen Zeit in dem Mathematiker Sir Roger Penrose einen Seelenverwandten. Penrose bespricht im 4. Kapitel seines Werk „The Emperor’s New Mind“ (deutsche Ausgabe“Computerdenken“) den Gödelsche Unvollständigkeitssatz und seine Konsequenzen.

Er stellt nach Besprechung des Satzes fest:

„Wir haben eine wahre Aussage entdeckt, die keinen Beweis innerhalb des Systems besitzt!“ (Seite 105)

Penrose sieht Gödels Entdeckung als Beleg für einen Wahrheitsbegriff jenseits des Formalen:

„Das vorgebliche Desinteresse der Formalisten an ‚mathematischer Wahrheit‘ erscheint mir als sehr eigenartiger Standpunkt für eine Philosophie der Mathematik.“(Seite 106)

Penrose zitiert Finsler übrigens nicht, sondern setzt direkt bei Gödel an. Dennoch ist er Finsler in seiner Schlussfolgerung sehr nah:

„Mathematische Wahrheit ist etwas, das über bloßen Formalismus hinausgeht.“(Seite 108)

Literatur
Roger Penrose: Computerdenken: die Debatte um künstliche Intelligenz, Bewusstsein und die Gesetze der Physik. Heidelberg 1991

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Paul Finsler und eine Welt ohne Widersprüche

Finsler
Paul Finsler (* 11. April 1894 in Heilbronn; † 29. April 1970 in Zürich)

Wir haben uns bereits in einer 6teiligen Serie mit Paul Finslers Mengenlehre beschäftigt. (Siehe dazu Finslers Mengenlehre – Kapitel 1.)

Unser Augenmerk galt der Betrachtung der philosophischen Überlegungen des Platonikers Finsler. In seiner Antrittsvorlesung an der Universität Köln im Jahr 1923 hat Finsler einige seiner Grundgedanken recht anschaulich vorgertragen. Sie trug den Titel: Gibt es Widersprüche in der Mathematik?
Ich kann sehr empfehlen, sich Zeit für die Lektüre dieser Vorlesung zu nehmen. Ich zitiere hier einzelne Kernaussagen.
Er beginnt seine Antrittsvorlesung mit den Worten:

„Verehrte Anwesende! Kann es in der Mathematik Widersprüche geben? Unlösbare Widersprüche? Ist nicht in dieser, der exaktesten der Wissenschaften, jeder Satz entweder richtig oder falsch, ganz unabhängig von allen persönlichen Ansichten oder Anschauungen oder sonstigen Einflüssen? Ist es da möglich, daß man einen Satz beweisen kann und gleichzeitig auch sein Gegenteil?“

Finsler erläutert dann die uns bereits bekannte Russellsche Antinomie (siehe Kapitel 1 der Mengenlehre) und geht auf die Mathematiker ein, die solche Antinomien für ein eher esoterisches Problem halten:

„Es nützt nichts, zu sagen, die Widersprüche kommen nur in den Grenzgebieten der Mathematik vor; denn wo liegt etwa in der Mengenlehre die Grenze zu den Grenzgebieten? und bewegen sich die Untersuchungen Hilberts nicht selbst auch auf diesen Grenzgebieten?“

Finsler betrachtet darauf hin das Wechselverhältnis zwischen Mathematik und Logik und sieht hier einen neuralgischen Punkt:

„Und eine Umgestaltung der Logik? Läßt sich die Logik überhaupt umgestalten? Irgendeine geschriebene oder formalisierte Logik wohl, eine solche kann fehlerhaft oder zu eng sein, nicht aber die reine Logik als solche, die Logik, der man sich als denkendes Wesen unterwerfen muß.“

Finsler geht also – acht Jahre vor Gödels Unvollständigkeitssatz – auf die Schwächen der formaliserten Logik ein. (In einer weiteren Arbeit wird er sogar einen zentralen Gedanken Gödels antizipieren.)

Finsler benennt auch den Kern der mengentheoretischen Antinomien:

Wie kommt es oder wie ist es möglich, daß es Dinge gibt, die nicht zu einer Menge zusammengefaßt werden können?

Unser Resultat dazu lautet ja (siehe Kapitel 3): Ein Element der Russell-Menge entsteht, wenn ein irreduzibles Abstraktum als Konkretum gesetzt wird.

Der letzte Teil der Antrittsvorlesung enthält bereits eine Vorankündigung der Finslerschen Mengenlehre. Er ist sich zu diesem Zeitpunkt sicher, zu einer widerspruchsfreien Mengenlehre gelangt zu sein.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang sein Schlußwort:

„Auf jeden Fall aber, glaube ich, steht das Ergebnis fest, daß alle Widersprüche tatsächlich nur scheinbar sind; die Mathematik als solche ist widerspruchsfrei, es gibt noch eine Wissenschaft, in der nichts gilt als die reine Wahrheit.“

Willkommen in einer (mathematischen) Welt ohne Widersprüche!

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